მობიუსის ზედაპირი: October 2009

ტოპოლოგია (ბერძნ. ტოპოს – ადგილი, ლოგოს – სწავლა) არის მათემატიკის დარგი, რომლის შესწავლის ობიექტებია ტოპოლოგიური სივრცეები, უწყვეტი ასახვები და დაკავშირებული მათემატიკური ცნებები.
განვიხილოთ ერთ-ერთი ტოპოლოგიური ობიექტი, რომელიც წარმოადგენს სამგანზომილებიან სივრცეში ერთმხრიან ზედაპირს. ეს არის მობიუსის ლენტი. ის აღმოჩენილ იქნა ერთდროულად და ამასთან, ერთმანეთისაგან დამოუკიდებლად ორი გერმანელი მათემატიკოსის _ ავგუსტ ფერდინანდ მობიუსის და იოჰან ბენედიქტ ლისტინგის მიერ 1858 წელს. მობიუსის ლენტის მოდელი იოლად შეიძლება შევქმნათ ქაღალდის ზოლისაგან, თუ ამოვაბრუნებთ ერთ-ერთ ბოლოს ნახევარბრუნით და მივუერთებთ მეორე ბოლოს. მივიღებთ ჩაკეტილ ფიგურას. თუ ფანქრით ხაზს შემოვავლებთ ლენტის ზედაპირს, იგი შევა ფიგურის სიღრმეში. მობიუსის ლენტს აქვს მხოლოდ ერთი მხარე და ერთი საზღვარი. ამ ზედაპირის ერთ-ერთი წერტილიდან მეორეში ისე მოვხვდებით, რომ ნაპირს არ გადავკვეთთ. ევკლიდეს სივრცეში ფაქტობრივად არსებობს ორი ტიპის მობიუსის ლენტი: ერთი ამობრუნებული საათის ისრის მიმართულებით, ხოლო მეორე საწინააღმდეგო მიმართულებით.

ელემენტარული აღწერა

ტოპოლოგიის ერთ-ერთი თეორემა იოლად გასაგებ ენაზე ასე შეიძლება ჩამოყალიბდეს: "შეუძლებელია თმით დაფარული ბურთის მთლიანად გლუვად დავარცხნა". რეალურად ეს თეორემა შემდეგში მდგომარეობს: "სფეროზე არ არსებობს არაქრობადი უწყვეტი მხები ვექტორი". ამ თეორემის დამტკიცება იოლი არ არის. იგი უკავშირდება "გეომეტრიული ფიგურების" გარკვეულ ზოგად თვისებებს. ამ თვისებების გამოკვლევა ტოპოლოგიის საკითხია.
ხშირად ტოპოლოგიას აღწერენ როგორც გეომეტრიის ნაწილს, გეომეტრიული ობიექტების უზოგადესი იმ თვისებების შესახებ, რომლებიც უცვლელი რჩება ისეთი უწყვეტი დეფორმაციების დროს, როგორიცაა შეკუმშვა, გაწელვა და მოღუნვა. გეომეტრიული ფიგურები, რომლებიც ერთმანეთისაგან ამგვარი უწყვეტი დეფორმაციების საშუალებით მიიღება, ტოპოლოგიის თვალსაზრისით არ განსხვავდება. მაგ. ფინჯანი, გირი და ბლითი "ტოპოლოგიურად" ერთი და იგივე გეომეტრიული ფიგურებია.
ტოპოლოგიამ დიდი გავლენა მოახდინა მათემატიკის ისეთ დარგებზე, როგორიცაა ალგებრული გეომეტრია, დიფერენციალური გეომეტრია, დინამიკური სისტემები, დიფერენციალური განტოლებები და სხვ.
ისტორია

ტოპოლოგია, როგორც მათემატიკის დამოუკიდებელი დისციპლინა, ჩამოყალიბდა XX საუკუნის დასაწყისში და მალევე მათემატიკური კვლევის ერთ-ერთი უმთავრესი მიმართულება გახდა. ტოპოლოგიის წარმოშობას წინ უძღოდა XIX საუკუნის ბოლოს გეორგ კანტორის მიერ სიმრავლეთა თეორიის შექმნა. ტოპოლოგიის წარმოშობისათვის განსაკუთრებით აღსანიშნავია ანრი პუანკარეს შრომები, სადაც პირველად ჩნდება ჰომოლოგიის და ჰომოტოპიის ცნებები (1895). 1906 წელს მორის ფრეშემ შემოიღო მეტრიკული სივრცის ცნება. ტოპოლოგიური სივრცის განმარტებები პირველად ჩამოაყალიბეს ფელიქს ჰაუსდორფმა (1914) და ზოგადი სახით კაზიმირ კურატოვსკიმ (1922). საქართველოში ტოპოლოგიურ კვლევას საფუძველი ჩაუყარა გიორგი ჭოღოშვილმა.

ტოპოლოგიის მიმართულებები

ტოპოლოგია მოიცავს ერთმანეთისაგან საკმაოდ დაშორებულ რამდენიმე ქვედარგს:

• სიმრავლური ტოპოლოგია ანუ ზოგადი ტოპოლოგია იკვლევს ზოგად ტოპოლოგიურ სივრცეებს.
• ალგებრულ ტოპოლოგიაში შეისწავლება უფრო ვიწრო ტოპოლოგიური სივრცეების კლასები. მაგ. პოლიჰედრები და ჩჭ კომპლექსები. დარგი ინტენსიურად იყენებს აბსტრაქტულ ალგებრას.
• ტოპოლოგიის კიდევ ერთი ვრცელი დარგი დიფერენციალური ტოპოლოგია იკვლევს აბსტრაქტულ დიფერენციალურ სტრუქტურებს, ეს მოიცავს: დიფერენციალურ მრავალნაირობებს, დიფერენცილურ ფორმებს და ა.შ.

ტოპოლოგიის სხვა მიმართულებებია , მაგალითად, კვანძების თეორია, (კო)ბორდიზმების თეორია, ტოპოლოგიური K თეორია და სხვ.

ზოგადი ტოპოლოგიის ზოგიერთი თეორია

• ტიხონოვის თეორემა: კომპაქტური სივრცეების ნამრავლი კომპაქტურია.
• თეორემები უძრავი წერტილის შესახებ გამოიყენება დიფერენციალური განტოლებების ამოსახსნელად.
• ტიცეს გაფართოების თეორემა: ნორმალური სივრცის ნებისმიერ ჩაკეტილ ქვესიმრავლეზე განმარტებული ნამდვილი უწყვეტი ფუნქცია შეიძლება გავრცელდეს მთელ სივრცეზე.
• მეტრიზაციის თეორემები იძლევა ტოპოლოგიური სივრცის მეტრიზებადობის აუცილებელ და საკმარის პირობებს.
• ბერის კატეგორიის თეორემა: თუ X სრული მეტრიკული სივრცეა ან ლოკალურად კომპაქტური ჰაუსდორფის სივრცე, მაშინ მისი არსადმკვრივი ქვესიმრავლეების ნებისმიერი თვლადი გაერთიანების ბირთვი ცარიელია.

მობიუსის ლენტი ხელოვნებასა და ყოველდღიურობაში

მობიუსის ლენტი იყო შთაგონების წყარო ბევრი მხატვრისა და მოქანდაკისათვის ხელოვნების ნიმუშების შექმნის დროს. ჰოლანდიელმა მხატვარმა, გრაფიკოსმა, მრავალი გრავიურისა და ლითოგრაფიის ავტორმა მ.კ. ეშერმა შექმნა ლითოგრაფია "მობიუსის ლენტი II" (1963), რომელშიც წითელი ჭიანჭველები უსასრულოდ ხოხავენ ლენტზე.
მობიუსის ლენტი ხშირად გამოიყენება სხვადასხვა ლოგოებისა და სავაჭრო მარკების გამოსახულებებზე. აღნიშნულის ყველაზე ნათელი მაგალითია განმეორებითი გამოყენების საერთაშორისო სიმბოლო.

ფინჯანი, გირი და ბლითი "ტოპოლოგიურად" ერთიდაიგივე გეომეტრიულ ფიგურებია

მობიუსის ზედაპირი

Saturday, October 17, 2009